読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

-数学- オイラーの無限解析: 283 リーマンのゼータ関数のオイラー積

数学

にほんブログ村 科学ブログ 数学へ

にほんブログ村

オイラーの無限解析

オイラーの無限解析

この本はレオンハルトオイラーによる有名な著作の日本語訳です。このような本の日本語訳が手に入るというのは本当にありがたいことです。

この本の特徴は、ひたすら計算をして、面白い結果を示している点にあります。その意味ではMaximaを使って計算をなぞってみると理解が進むかもしれません。

では早速、あの有名なゼータ関数オイラー積表示の証明から。

(この計算を実行するには関数や簡約ルールの追加が必要です。記事の一番下にそれらを載せてあります)。

(%i1) F1:A=trunc(sum(1/n^s,n,1,25));

$$ \tag{%o1} A=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{10^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{12^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{14^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{16^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{18^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{20^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\frac{1}{22^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\frac{1}{24^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i2) lhs(G1)=trunc(expand(rhs(G1))),G1:F1*1/2^s;

$$ \tag{%o2} \frac{A}{2^{s}}=\frac{1}{2^{2\,s}}+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,3^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,4^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,5^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,6^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,7^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,8^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,9^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,10^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,11^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,12^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,13^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,14^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,15^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,16^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,17^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,18^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,19^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,20^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,21^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,22^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,23^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,24^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,25^{s}}+\cdots  $$

(%i3) lhs(H1)=trunc(rest(rhs(H1),13)),H1:apply1(%,dsimp2,dsimp1);

$$ \tag{%o3} \frac{A}{2^{s}}=\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+\frac{1}{10^{s}}+\frac{1}{12^{s}}+\frac{1}{14^{s}}+\frac{1}{16^{s}}+\frac{1}{18^{s}}+\frac{1}{20^{s}}+\frac{1}{22^{s}}+\frac{1}{24^{s}}+\cdots  $$

(%i4) FF1:factor(lhs(I1))=trunc(rhs(I1)),I1:F1-%;

$$ \tag{%o4} \frac{\left(2^{s}-1\right)\,A}{2^{s}}=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i5) F2:B=rhs(FF1);

$$ \tag{%o5} B=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i6) lhs(G2)=trunc(expand(rhs(G2))),G2:F2*1/3^s;

$$ \tag{%o6} \frac{B}{3^{s}}=\frac{1}{3^{2\,s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,5^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,7^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,9^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,11^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,13^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,15^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,17^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,19^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,21^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,23^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,25^{s}}+\cdots  $$

(%i7) lhs(H2)=trunc(rest(rhs(H2),9)),H2:apply1(%,dsimp2,dsimp1);

$$ \tag{%o7} \frac{B}{3^{s}}=\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\cdots  $$

(%i8) FF2:factor(lhs(I2))=trunc(rhs(I2)),I2:F2-%;

$$ \tag{%o8} \frac{\left(3^{s}-1\right)\,B}{3^{s}}=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i9) F3:C=rhs(FF2);

$$ \tag{%o9} C=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i10) lhs(G3)=trunc(expand(rhs(G3))),G3:F3*1/5^s;

$$ \tag{%o10} \frac{C}{5^{s}}=\frac{1}{5^{2\,s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,7^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,11^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,13^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,17^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,19^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,23^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,25^{s}}+\cdots  $$

(%i11) lhs(H3)=trunc(rest(rhs(H3),7)),H3:apply1(%,dsimp2,dsimp1);

$$ \tag{%o11} \frac{C}{5^{s}}=\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i12) FF3:factor(lhs(I3))=trunc(rhs(I3)),I3:F3-%;

$$ \tag{%o12} \frac{\left(5^{s}-1\right)\,C}{5^{s}}=1+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\cdots  $$

(%i13) ev(FF3,C=lhs(FF2),B=lhs(FF1),eval);

$$ \tag{%o13} \frac{\left(2^{s}-1\right)\,\left(3^{s}-1\right)\,\left(5^{s}-1\right)\,A}{2^{s}\,3^{s}\,5^{s}}=1+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\cdots  $$

(%i14) pproduct((p^s-1)/p^s,p,inf)*A=1;

$$ \tag{%o14} \prod_{p}\frac{p^{s}-1}{p^{s}}\,A=1 $$

(%i15) sum(1/n^s,n,1,inf)=pproduct(p^s/(p^s-1),p,inf);

$$ \tag{%o15} \sum_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n^{s}}}=\prod_{p}\frac{p^{s}}{p^{s}-1} $$

 

まず、下記をMaximaに読み込ませてください。そうすれば上記をそのまま実行することができるようになります。wxMaximaでもimaximaでも下記を全部選択してコピーし、それらのプログラムでペーストすれば読み込めました。

matchdeclare([a,b,c],true)$

defrule(dsimp1,a/b^(c*s),a/(b^c)^s);

matchdeclare([a,b,c],true)$

defrule(dsimp2,a/(b^s*c^s),a/(b*c)^s);

matchdeclare([a,b,c],true)$

defrule(dsimp3,a^(1-s)/b^s,a/(a*b)^s);

 

pproduct_internal(e, var, pmax) ::=

  if numberp(pmax) then

    buildq([e:e,v:var,pm:pmax],

      block([res:1],

        for v:next_prime(1)  next next_prime(v) while (v<=pm)

          do block([],res:e*res),return(res)))$

pproduct(exp,var,pmax)::=

  if numberp(pmax) then

    buildq([exp:exp,var:var,pmax:pmax], pproduct_internal(exp, var, pmax ) )

  else 'pproduct(exp,var,pmax)$

 

 

texput(nounify(pproduct),

  lambda([arglist], block([e,v,pm],[e,v,pm]:args(arglist),

      if (pm=inf) then

        concat("\\prod_{",tex1(v) ,if(v='p)then""else":prime","}",tex1(e) )

      else

        concat("\\prod_{",tex1(v) ,if(v='p)then""else":prime"," \\leq ",tex1(pm),"}",tex1(e)))))$

 

This is a test.
天気