Grand-Place de Bruxelles
様々な式の中では未定義の関数や未定義の変数も普通に混ぜてかくことができます。下記の式でf(x)やx, aは未定義です。展開した結果の中にそのまま出てきます。
(%i1) expand( (f(x)+x+a)*(x^2+1) );
$$ \tag{%o1} x^2\,f\left(x\right)+f\left(x\right)+x^3+a\,x^2+x+a $$
こんな複雑な式でも因数分解するとちゃんと元に戻ります。
(%i2) factor(%);
$$ \tag{%o2} \left(x^2+1\right)\,\left(f\left(x\right)+x+a\right) $$
Fとして下記のように定義してみます。\( x^2+1 \)で割ったら商がq(x)であまりが\( 3\,x-a \)となるような多項式、という感じですね。
(%i3) F:q(x)*(x^2+1)+3*x-a;
$$ \tag{%o3} \left(x^2+1\right)\,q\left(x\right)+3\,x-a $$
では本当に\( x^2+1 \)で割ってみましょう。divide()という関数を使います。
(%i4) divide(F,x^2+1);
$$ \tag{%o4} \left[ q\left(x\right) , 3\,x-a \right] $$
Fにiを代入して計算してみましょう。
(%i5) F,x:%i;
$$ \tag{%o5} 3\,i-a $$
今度はGを定義してみます。未定義変数としてx, cを含んでいます。
(%i6) G:6*x^4+x^3-c*x+1;
$$ \tag{%o6} 6\,x^4+x^3-c\,x+1 $$
Gをで割ってみましょう。
(%i7) divide(G, x^2+1);
$$ \tag{%o7} \left[ 6\,x^2+x-6 , \left(-c-1\right)\,x+7 \right] $$
Gにiを代入して計算してみましょう。
(%i8) G,x:%i;
$$ \tag{%o8} -i\,c-i+7 $$
有理式を色々と操作してみます。factor(), expand(), xthru(), combine()など便利な関数の使い方を覚えてみて下さい。
(%i9) (x+4)*(x+5)/(x^2-d^2)+(x+8)/(x-2);
$$ \tag{%o9} \frac{\left(x+4\right)\,\left(x+5\right)}{x^2-d^2}+\frac{x+8}{x-2} $$
因数分解してみます。
(%i10) factor(%);
$$ \tag{%o10} \frac{2\,x^3+15\,x^2-d^2\,x+2\,x-8\,d^2-40}{\left(x-2\right)\,\left(x-d\right)\,\left(x+d\right)} $$
部分分数展開します。
(%i11) partfrac(%,x);
$$ \tag{%o11} -\frac{d^2-9\,d+20}{2\,d\,\left(x+d\right)}+\frac{d^2+9\,d+20}{2\,d\,\left(x-d\right)}+\frac{10}{x-2}+2 $$
通分してみます。分子が簡約化されていませんね。
(%i12) xthru(%);
$$ \tag{%o12} \frac{\left(x+d\right)\,\left(2\,d\,\left(2\,\left(x-2\right)+10\right)\,\left(x-d\right)+\left(d^2+9\,d+20\right)\,\left(x-2\right)\right)+\left(-d^2+9\,d-20\right)\,\left(x-2\right)\,\left(x-d\right)}{2\,d\,\left(x-2\right)\,\left(x-d\right)\,\left(x+d\right)} $$
展開してみます。巨大な式になってしまった、、、
(%i13) expand(%);
$$ \tag{%o13} \frac{4\,d\,x^3}{2\,d\,x^3-4\,d\,x^2-2\,d^3\,x+4\,d^3}+\frac{30\,d\,x^2}{2\,d\,x^3-4\,d\,x^2-2\,d^3\,x+4\,d^3}\\-\frac{2\,d^3\,x}{2\,d\,x^3-4\,d\,x^2-2\,d^3\,x+4\,d^3}+\frac{4\,d\,x}{2\,d\,x^3-4\,d\,x^2-2\,d^3\,x+4\,d^3}\\-\frac{16\,d^3}{2\,d\,x^3-4\,d\,x^2-2\,d^3\,x+4\,d^3}-\frac{80\,d}{2\,d\,x^3-4\,d\,x^2-2\,d^3\,x+4\,d^3} $$
同じ分母を持つ分数式をまとめます。
(%i14) combine(%);
$$ \tag{%o14} \frac{4\,d\,x^3+30\,d\,x^2-2\,d^3\,x+4\,d\,x-16\,d^3-80\,d}{2\,d\,x^3-4\,d\,x^2-2\,d^3\,x+4\,d^3} $$
最後にもう一度この式を因数分解してみましょう。
(%i15) factor(%);
$$ \tag{%o15} \frac{2\,x^3+15\,x^2-d^2\,x+2\,x-8\,d^2-40}{\left(x-2\right)\,\left(x-d\right)\,\left(x+d\right)} $$
