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Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

数学の実験:n^4+n^3+n^2+n+1ってどんな数? 証明編

数学

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それでは前回の予想の証明の流れを示してみます。今回はMaximaを使って計算をする、ということはありません。LaTeXよりも簡単に数式がかける道具として使っています。

 

一つのポイントは以下の因数分解です。この因数分解は円分多項式と関係しているのですが、それはさておき。

(%i1) n^5-1=factor(n^5-1);

$$ \tag{%o1} n^5-1=\left(n-1\right)\,\left(n^4+n^3+n^2+n+1\right) $$

 

pを素数として、

(%i2) p#5;

$$ \tag{%o2} p\neq 5 $$

を仮定します。

 

次の式のnに色々な自然数を代入して、計算した結果を素因数分解すると、pが素因数の一つだったとします。

(%i3) n^4+n^3+n^2+n+1;

$$ \tag{%o3} n^4+n^3+n^2+n+1 $$

つまり次の式に解があることになります。

(%i4) mod(x^4+x^3+x^2+x+1,p)=0;

$$ \tag{%o4} \left(x^4+x^3+x^2+x+1\right) \rm{mod} p=0 $$

 

その解をaとすると元の式に代入して、次の式が成り立ちます。

(%i5) a1:mod(a^4+a^3+a^2+a+1,p)=0;

$$ \tag{%o5} \left(a^4+a^3+a^2+a+1\right) \rm{mod} p=0 $$

 

ここで冒頭の因数分解を使うと、このaについて次の式が成り立つことが分かります。

(%i6) mod(a^5-1,p)=0;

$$ \tag{%o6} \left(a^5-1\right) \rm{mod} p=0 $$

 

これはmod pでaを5乗すると1になる、ということです。このようなaの位数は5の約数ですから5あるいは1です。数式で書けば、

(%i7) '(mod(a^5,p)=1 or mod(a^1,p)=1);

$$ \tag{%o7} \left(a^5\right) \rm{mod} p=1\vee a \rm{mod} p=1 $$

もし位数が1とすればa=1となりますから、それを(%o5)に代入すると、

(%i8) a1,a=1;

$$ \tag{%o8} 5 \rm{mod} p=0 $$

となり、\( p \neq 5 \) と矛盾します。従ってaの位数は5です。

 

ここでフェルマーの小定理を使うと、

(%i9) mod(totient(p),5)=0;

$$ \tag{%o9} \varphi\left(p\right) \rm{mod} 5=0 $$

が成り立ちます。つまりpの既約剰余類の元の個数は5で割り切れるはずです。pは素数なので既約剰余類の元の個数はp-1個です。従って次の式が分かります。

(%i10) mod(p-1,5)=0;

$$ \tag{%o10} \left(p-1\right) \rm{mod} 5=0 $$

つまりpは5で割ると1余る数です。仮定とあわせると、

(%i11) '(p=5 or mod(p-1,5)=0);

$$ \tag{%o11} p=5\vee \left(p-1\right) \rm{mod} 5=0 $$

pは5であるか、5で割ると1余る数です。後者の場合は必ず下一桁が1あるいは6です。しかしpが奇数であることを考慮すると、pの下一桁は必ず1です。

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