Lレンズ
数学の本を読んでいたら面白い問題がありました。
問題：nが自然数のとき、\( n^4+n^3+n^2+n+1 \) はどんな数でしょうか？
どんな数か、と言われても何を答えたらいいのか分かりません。まず具体的にどんな数なのか見てみます。
これは冪乗の総和を使うとうまく定義出来ます。
(%i1) define(f(n),sum(n^k,k,0,4));
$$ \tag{%o1} f\left(n\right):=n^4+n^3+n^2+n+1 $$
ではiを1から21まで動かしながらf(i)の値を見てみます。
(%i2) makelist([i,f(i)],i,[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21]);
$$ \tag{%o2} \left[ \left[ 1 , 5 \right] , \left[ 2 , 31 \right] , \left[ 3 , 121 \right] , \left[ 4 , 341 \right] , \left[ 5 , 781 \right] , \\ \left[ 6 , 1555 \right] , \left[ 7 , 2801 \right] , \left[ 8 , 4681 \right] , \left[ 9 , 7381 \right] , \left[ 10 , 11111 \right] , \\ \left[ 11 , 16105 \right] , \left[ 12 , 22621 \right] , \left[ 13 , 30941 \right] , \left[ 14 , 41371 \right] , \left[ 15 , 54241 \right] , \\ \left[ 16 , 69905 \right] , \left[ 17 , 88741 \right] , \left[ 18 , 111151 \right] , \left[ 19 , 137561 \right] , \left[ 20 , 168421 \right] , \\ \left[ 21 , 204205 \right] \right] $$
なるほど、末尾が1の数と末尾が5の数にばかりなるように見えます。mod 10で見てみましょう。
(%i3) makelist([i,mod(f(i),10)],i,[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21]);
$$ \tag{%o3} \left[ \left[ 1 , 5 \right] , \left[ 2 , 1 \right] , \left[ 3 , 1 \right] , \left[ 4 , 1 \right] , \left[ 5 , 1 \right] , \\ \left[ 6 , 5 \right] , \left[ 7 , 1 \right] , \left[ 8 , 1 \right] , \left[ 9 , 1 \right] , \left[ 10 , 1 \right] , \\ \left[ 11 , 5 \right] , \left[ 12 , 1 \right] , \left[ 13 , 1 \right] , \left[ 14 , 1 \right] , \left[ 15 , 1 \right] , \\ \left[ 16 , 5 \right] , \left[ 17 , 1 \right] , \left[ 18 , 1 \right] , \left[ 19 , 1 \right] , \left[ 20 , 1 \right] , \\ \left[ 21 , 5 \right] \right] $$
規則性が見えてきました。i=m*5+1の時にはf(i)の末尾が5, それ以外の時にはf(i)の末尾は1です。合同式を使えば簡単に証明出来ます。mod 10でi=1,,,10として計算すればよいだけです。f(10*n+1)≡f(1)=5, f(10*n+6)≡f(6)=5 mod 10などとやればお終いです。
ところでこれらの数を因数分解してみるとちょっと驚くことが分かります。
(%i4) makelist([i, factor(f(i))],i,[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21]);
$$ \tag{%o4} \left[ \left[ 1 , 5 \right] , \left[ 2 , 31 \right] , \left[ 3 , 11^2 \right] , \left[ 4 , 11\,31 \right] , \left[ 5 , 11\,71 \right] , \\ \left[ 6 , 5\,311 \right] , \left[ 7 , 2801 \right] , \left[ 8 , 31\,151 \right] , \left[ 9 , 11^2\,61 \right] , \left[ 10 , 41\,271 \right] , \\ \left[ 11 , 5\,3221 \right] , \left[ 12 , 22621 \right] , \left[ 13 , 30941 \right] , \left[ 14 , 11\,3761 \right] , \left[ 15 , 11\,4931 \right] , \\ \left[ 16 , 5\,11\,31\,41 \right] , \left[ 17 , 88741 \right] , \left[ 18 , 41\,2711 \right] , \left[ 19 , 151\,911 \right] , \left[ 20 , 11\,61\,251 \right] , \\ \left[ 21 , 5\,40841 \right] \right] $$
分かりますか？f(5*n+1)が必ず5の倍数になるのは前の観察から明らかですが、その場合の5を除くと全ての素因数の末尾が1になっています。つまりf(n)の素因数は10m+1型の素数であることが予想されます。本当！！？？
