Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

数学

-数学- アイゼンシュタイン級数 (その3)

// ウォームアップ にほんブログ村 アイゼンシュタイン級数にはz->z+1やz->-1/zなどの変数変換をしてもあまり変化しません。(これらの変換である種の対称性があります)。 アイゼンシュタイン級数の定義は以下の通りでした。ただし\( \left(m, \,n\right)=\…

-数学- アイゼンシュタイン級数 (その3)

CH-47J チヌーク // にほんブログ村 (その2)の記事の最後の展開を見るとわかることは、 $$\begin{align*} \frac{1}{\left(m\,z+n\right)^{k}}=\frac{1}{d^{k}\,\left(m_{d}\,z+n_{d}\right)^{k}} \end{align*} $$ という因数分解が全ての項について行われて…

-数学- アイゼンシュタイン級数 (その2)

P3C タキシング // にほんブログ村 前回はアイゼンシュタイン級数の数学的な定義を分解して以下のようなMaximaで計算できる形で定義してみました。 (%i59) Eis(z,k,M,N); $$ \tag{%o59} \sum_{n=1}^{N}{\sum_{m=1}^{M}{\frac{1}{\left(m\,z+n\right)^{k}}}}+…

-数学- アイゼンシュタイン級数

SH-60K // にほんブログ村 アイゼンシュタイン級数、ご存知ですか?少し進んだ数論を勉強すると保型形式、モジュラー形式、などの用語に触れると思いますが、その最も具体的な対象で、分かり易い定義を持つものがこのアイゼンシュタイン級数です。 $$\sum_{\…

-数学- ヤコビの3重積公式

// P1対戦哨戒機 にほんブログ村 オイラーの五角数公式をヤコビの3重積公式から導くことは簡単でした。というかどう見てもヤコビの3重積公式の方が複雑だし、、、だからどうした、という感じがします。 当然ヤコビの3重積公式を導きたくなりますよね。ハ…

-数学- オイラーの五角数定理

Gear up // にほんブログ村 オイラーの五角数定理の証明はヤコビの3重積公式を仮定すれば簡単に導くことができます。まずヤコビの3重積公式の定義です。 準備としてQ(x), R(X,z), P(x,z), S1(x,z), S(x,z)を順に定義します。 (%i1) Q(x):=product(1-x^(2*n…

-数学- Qepmaxで拡張タルスキ式をサポート

前足をそろえておねむ // にほんブログ村 Qepmaxのメンテも続けております。ようやく、拡張タルスキ式のサポートを実装しました。 拡張タルスキ式はそれ自身原始論理式です。Qepmaxでは次のようなシンタックスでサポートすることにしました。 変数 (不)等号 …

-数学- 高次多変数連立方程式をグレブナー基底を使って解く

// ダブル チョコレート コーヒー ジェリー フラペチーノ® にほんブログ村 コメントに頂いた連立2元2次方程式について、考えてみます。 (%i1) poly1:x^2+2*x*y-3*y^2-5;$$ \tag{%o1} -3\,y^2+2\,x\,y+x^2-5 $$(%i2) poly2:2*x^2-x*y+6*y^2-1;$$ \tag{%o2} …

Q.E. 40連発

// にほんブログ村 Q.E.をどんどんやってみました。 (%i1) load(qepmax);$$ \tag{%o1} \verb|/Users/yasube/Programming/qepmax/qepmax.mac| $$ 変数が自由変数のみからなる例です。不等式の同値変形を計算することができます。 まず1次不等式。 (%i2) qe([ …

-数学- Q.E.の例題 京大2010年文系の問題 線形計画法

// QEの計算アルゴリズムとその応用―数式処理による最適化 作者: 穴井宏和,横山和弘 出版社/メーカー: 東京大学出版会 発売日: 2011/08/25 メディア: 単行本 購入: 1人 クリック: 7回 この商品を含むブログを見る にほんブログ村 更に続けて、上記の本のp37…

-数学- より厳密なqe()

// ハゴロモジャスミン にほんブログ村 ehitoさんのブログ maximaのロジックシステム(6) - ATPとCASのこと で「分母≠0の付帯」を考慮した処理の仕方をMaxima上で実現する方法が示されました。シンタックスシュガーが工夫されていて面白いです。今、ratsim…

-数学- Q.E.の例題 東北大2010年理系入試問題より

// QEの計算アルゴリズムとその応用―数式処理による最適化 作者: 穴井宏和,横山和弘 出版社/メーカー: 東京大学出版会 発売日: 2011/08/25 メディア: 単行本 購入: 1人 クリック: 7回 この商品を含むブログを見る にほんブログ村 上記の本のp33に載っている…

-数学- Q.E.の例題 範囲を求める

// QEの計算アルゴリズムとその応用―数式処理による最適化 作者: 穴井宏和,横山和弘 出版社/メーカー: 東京大学出版会 発売日: 2011/08/25 メディア: 単行本 購入: 1人 クリック: 7回 この商品を含むブログを見る にほんブログ村 続けてQ.E.で問題を解いてみ…

-数学- Q.E.の例題 xの範囲、yの範囲

// QEの計算アルゴリズムとその応用―数式処理による最適化 作者: 穴井宏和,横山和弘 出版社/メーカー: 東京大学出版会 発売日: 2011/08/25 メディア: 単行本 購入: 1人 クリック: 7回 この商品を含むブログを見る にほんブログ村 次は上記の本のp30に載って…

-数学- Q.E.の例題 簡単な最適化問題

// QEの計算アルゴリズムとその応用―数式処理による最適化 作者: 穴井宏和,横山和弘 出版社/メーカー: 東京大学出版会 発売日: 2011/08/25 メディア: 単行本 購入: 1人 クリック: 7回 この商品を含むブログを見る にほんブログ村 上記の本の中にはQ.E.の例題…

-数学- QepmaxとQepcad Bを試す

// 桜 にほんブログ村 それでは早速Qepcad BとQepmaxを使って量限定子除去を試してみます。 -数学- 量限定子除去の続き - Maxima で綴る数学の旅 の記事で書いた例題をやってみます。まずqepmaxパッケージを読み込みます。 (%i1) load(qepmax)$ Loading maxi…

-数学- Qepcad BとQepmax: Maximaで量限定子除去を実行する。インストール編

// ジャンプシュート にほんブログ村 前回の記事でご紹介した通り、Qepcad Bは実数領域の多項式で量限定子除去を実行する専用のソフトウェアです。このソフトをMaximaから呼び出して利用出来るようにしたのが、QepmaxというMaximaの拡張パッケージです。 Qep…

-数学- 量限定子除去を実行するソフトウェア

空中戦 // にほんブログ村 \( \forall x \)や\( \exists y\)などの量限定子がついた変数を全て除去出来れば、自由変数だけからなる式が出来ます。これを同値変形で求めることができれば、量限定子除去した結果の自由変数の式は元の式が成立するための(必要…

-数学- 量限定子除去の続き

// にほんブログ村 この3次関数のグラフをもう少し研究してみます。 \( x \geq -\frac{5}{2} \) の時、関数 \( y=x^3 - 6\,x \) の最小値はいくつでしょうか。同様に\( x \geq -3 \) の時、最小値はどうなるでしょうか。前者を論理式で表すと、 $$ \forall …

-数学- 量限定子除去 : ちょっと変わった数式処理

// にほんブログ村 数式処理の専門家の人はよく知っているのが、そうでない人は全く知らない、そんな技術の一つが量限定子除去と呼ばれる技術です。英語ではQuantifier Elimination, 略してQ.E.とも言われます。 具体的には実数の世界に限定して、多項式を項…

-数学- 代数的数の積は代数的数

類体論へ至る道―初等数論からの代数入門 作者: 足立恒雄 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2010/02 メディア: 単行本 購入: 1人 クリック: 38回 この商品を含むブログ (2件) を見る // にほんブログ村 前回の記事で、「代数的数の和は代数的数」の計算例…

-数学- 代数的数の和は代数的数

類体論へ至る道―初等数論からの代数入門 作者: 足立恒雄 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2010/02 メディア: 単行本 購入: 1人 クリック: 38回 この商品を含むブログ (2件) を見る // にほんブログ村 代数的数の和は代数的数になることの証明はこの本を…

-数学- 代数的数の全体は体を成す。代数的整数の全体は環を成す。(和の逆数)

// 類体論へ至る道―初等数論からの代数入門 作者: 足立恒雄 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2010/02 メディア: 単行本 購入: 1人 クリック: 38回 この商品を含むブログ (2件) を見る にほんブログ村 前回の記事で、「和の逆数はどうなりますか」と書き…

-数学- 代数的数の全体は体を成す。代数的整数の全体は環を成す。

// にほんブログ村 類体論へ至る道―初等数論からの代数入門 作者: 足立恒雄 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2010/02 メディア: 単行本 購入: 1人 クリック: 38回 この商品を含むブログ (2件) を見る この本の第7章は「代数体への入門」となっており、…

-数学- 代数的整数

類体論へ至る道―初等数論からの代数入門 作者: 足立恒雄 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2010/02 メディア: 単行本 購入: 1人 クリック: 38回 この商品を含むブログ (2件) を見る // にほんブログ村 随分と昔にこの本の初版を購入して勉強したことがあ…

-数学- 素数の逆数の和は整数にはならない

// EOS 70D購入! にほんブログ村 \( i \)番目の素数\( p_{i} \)を最初から\( k \)個足した和を考えます。\( k \)をどのようにとってもこの和がちょうど整数になることは決してありません。 仮にちょうど整数になったとしてその数を\( n \)とします。 (%i1) …

-数学- オイラーの無限解析: 284 L関数のオイラー積

// 丸武の玉子焼き にほんブログ村 オイラーの無限解析作者: レオンハルトオイラー,Leonhardo Euler,高瀬正仁出版社/メーカー: 海鳴社発売日: 2001/06メディア: 単行本購入: 2人 クリック: 27回この商品を含むブログ (20件) を見る 今回はL関数のオイラー積…

-数学- オイラーの無限解析: 283 リーマンのゼータ関数のオイラー積

// にほんブログ村 オイラーの無限解析作者: レオンハルトオイラー,Leonhardo Euler,高瀬正仁出版社/メーカー: 海鳴社発売日: 2001/06メディア: 単行本購入: 2人 クリック: 27回この商品を含むブログ (20件) を見る この本はレオンハルト・オイラーによる有…

-数学- マンゴールト関数とゼータ関数の零点の双対性 (Duality) その2

// にほんブログ村 今回はマンゴールト関数の総和関数をフーリエ変換(正確にはメリン変換)すると周波数成分としてゼータ関数の非自明な零点が現れることを見てみます。 この記事を書くにあたってThe Mobius function Blogの記事Fourier transform of the v…

-数学- マンゴールト関数とゼータ関数の零点の双対性 (Duality)

// にほんブログ村 マンゴールト関数の定義は一見すると奇妙な感じがします。特にその引数nが素数pのk乗の時、関数の値をlog(p)とする、、、って、冪乗の指数のkはどうでも良いのでしょうか、と思いますよね。 とはいえ、リーマンの素数個数明示公式よりも簡…

-数学- マンゴールトの明示公式

// にほんブログ村 マンゴールト関数の総和関数の明示公式(マンゴールトの明示公式)のお話です。次の本の第3章にマンゴールトの明示公式の導出方法などが載っています。 明解 ゼータ関数とリーマン予想 (KS理工学専門書)作者: ハロルドエム・エドワーズ,…

-数学- マンゴールト関数 / von Mangoldt Function

// にほんブログ村 御所車 数論入門 I (シュプリンガー数学クラシックス 第)作者: G.H.ハーディ,E.M.ライト,示野信一出版社/メーカー: 丸善出版発売日: 2012/07/17メディア: 単行本この商品を含むブログを見る (この本の17.7章には今回紹介している\( \Lamb…

-数学- ゼータ関数の非自明な零点と LMFDB.org

// にほんブログ村 三人官女 前のブログでゼータ関数の零点を使ってリーマンの素数個数関数を実際に計算して、グラフに描く、という記事を連載しました。その中で肝心要のゼータ関数の零点は、自前では計算せず、アンドリュー・オドリッコさんというこの分野…

\(x^2+y^2\)の形の素数とガウス整数

八幡神社 // にほんブログ村 2次形式 \(x^2+y^2 \)のx, yに整数を代入して得られる数を因数分解したり、4n+1型の素数をこの2次形式で表したりしてみました。まとめると、4n+1型の素数をこの2次形式で表すことが出来ますし、この2次形式の値が素数になるなら…

2次形式で表される素数 続き

学校厩舎 // にほんブログ村 4n+1型の素数は必ず \( x^2+y^2 \) の形に表すことができます。フェルマーはこの事実を無限降下法を使って証明しました。 今回も はじめての数論 原著第3版―発見と証明の大航海‐ピタゴラスの定理から楕円曲線まで作者: ジョセフ…

2次形式で表される素数 と 節分 と

// 副豆 にほんブログ村 前の記事では\(x^2+y^2 \) の形に表せる素数は必ず4n+1型であることを知りました。 実は逆が成り立ちます。つまり4n+1型の素数は必ず \(x^2+y^2 \) の形に表すことができます。フェルマーはこの事実を彼の得意な無限降下法と呼ばれる…

2次形式の素因数分解、2次形式で表される素数

// にほんブログ村 円分多項式について考えたことを2次形式でもやってみます。 数論入門 (現代数学への入門)作者: 山本芳彦出版社/メーカー: 岩波書店発売日: 2003/11/11メディア: 単行本購入: 1人 クリック: 2回この商品を含むブログ (4件) を見る の第6…

数学の実験:\(n^4+n^3+n^2+n+1\)ってどんな数?円分多項式との関係は?

// にほんブログ村 この「 \( n^4+n^3+n^2+n+1 \) 」に関する3つの記事は数論入門 (現代数学への入門)作者: 山本芳彦出版社/メーカー: 岩波書店発売日: 2003/11/11メディア: 単行本購入: 1人 クリック: 2回この商品を含むブログ (4件) を見るの第3章「剰余…

数学の実験:n^4+n^3+n^2+n+1ってどんな数? 証明編

// にほんブログ村 競馬学校 それでは前回の予想の証明の流れを示してみます。今回はMaximaを使って計算をする、ということはありません。LaTeXよりも簡単に数式がかける道具として使っています。 一つのポイントは以下の因数分解です。この因数分解は円分多…

数学の実験:n^4+n^3+n^2+n+1ってどんな数?

// にほんブログ村 Lレンズ 数学の本を読んでいたら面白い問題がありました。 問題:nが自然数のとき、\( n^4+n^3+n^2+n+1 \) はどんな数でしょうか? どんな数か、と言われても何を答えたらいいのか分かりません。まず具体的にどんな数なのか見てみます。 …

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