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Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

数学

-数学- 楕円曲線の加法と複素平面上の(普通の)加法

数論が好きなみなさんはきっと楕円曲線について勉強し、楕円曲線上の加群を知っていることでしょう。楕円曲線上の2点の和は、この2点を結ぶ直線と楕円曲線とが交わる第3の点のx軸対称の点とする、というものです。楕円曲線そのものがx軸対称なので、和の…

-数学- 楕円曲線、平行四辺形、トーラスをつなぐペー関数

前の記事、 で求めたペー関数の微分方程式 $$ \notag \left(\frac{d}{d\,z}\,\wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)\right)^2=-140\,G_{6}(w_{1},w_{2})-60\,G_{4}(w_{1},w_{2})\,\wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)+4\,\wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)^3 $$…

-数学- ワイエルストラスのペー関数が満たす微分方程式

楕円関数としてワイエルストラスのペー関数を勉強しています。ペー関数のローラン級数展開を得ることができたので、これを使って、ペー関数の微分、ペー関数の2乗、3乗、ペー関数の微分の2乗の最初のいくつかの項を具体的に求めます。 またその結果として…

-数学- 複素関数論の楕円関数への応用

今回はMaximaは使いません。計算がないからです。 楕円関数は複素平面上で定義された特定の定義を持つ関数です。いわゆる特殊関数の一つです。複素関数論を勉強すると様々な一般的な結果を学びますが、その一つにリュウビルの定理というものがあります。そし…

-数学- ワイエルシュトラスのペー関数のローラン展開

ワイエルシュトラスのペー関数をローラン展開してみます。ローラン展開といっても、\(\frac{1}{z^2}\)の項はそのまま、総和の部分をべき級数に展開することになります。ここでも以下の記事で定義したペー関数関連の道具は全て読み込み済みとします。 いきな…

-数学- ワイエルストラスのペー関数は2重周期関数

ペー関数の定義(%o1)をパッとみて、これをzの関数と見たとき、周期が\( w_1, w_2 \)の2重周期関数だと、簡単に見抜くことはできません。今回はこの2重周期性を証明して見ます。 以下のMaximaセッションではペー関数に関する(前回記事で紹介した)定義はす…

-数学- ワイエルシュトラスのペー関数

ワイエルストラスのペー関数をMaximaで実装して、いくつかの性質を調べてみます。式を綺麗に表示したり、複素平面上の格子点に渡る和の定義など、結構準備があります。 (%i1) load(to_poly_solve)$ 以下はペー関数をドイツ語の飾り文字で表示するための準備…

-数学- 楕円、楕円積分、楕円関数、ヤコビ、ワイエルシュトラス、2重周期性、楕円曲線

楕円、楕円積分、楕円関数、ヤコビのsn(), cn(), ワイエルストラスのペー関数、2重周期性、楕円曲線とその上の加法演算、、、 数論を勉強していると、楕円曲線はよく登場します。例えば有名なフェルマーの最終定理は、フライにより楕円曲線と保型形式の対応…

-数学- 論理式の簡略化

品川プリンス では最初に限定子除去(Quantifier Elimination)の手法を用いてハートの形に見える代数曲線の、xの範囲を求めました。その範囲を表す論理式を手で簡約化した、と書きました。その記事を書いた瞬間、心に引っかかるものがあったのですが、とりあ…

-数学- ハートのえくぼ、代数曲線の孤立点

パピヨンと秋 以前掲載した記事: に、コメントを頂きました(コメントは出来れば普通に書いて頂いて良いのですが、、、)。コメントの内容を要約すると、(%o1)の方程式で表される代数曲線はハートの形を描くが、実は見えない特異点(孤立点)が含まれる。そ…

-数学- Drawパッケージで塗り絵をする方法

パピヨン 前の記事: のコメント欄に不思議なコメントを頂きました。おそらく読み解いてみると、コメントに示されたURLの示す画像に含まれる2変数24次の代数方程式について、xとyを適当に動かしたときに、左辺の値が負となる領域を描き、塗りつぶせ、という…

-数学- 佐藤テイト予想(テイラーの定理)の計算による確認(虚数乗法の場合)

肉球 佐藤テイト予想が成立するためには「虚数乗法を持たない楕円曲線に対して」という条件が付いていました。もう一度楕円曲線版の佐藤テイト予想・テイラーの定理を再掲します。 佐藤テイト予想・テイラーの定理 虚数乗法を持たない楕円曲線Eに対して、法p…

-数学- 佐藤テイト予想(テイラーの定理)の計算による確認(その3)

お台場の夕日 今回はラマヌジャンの保型形式に対する佐藤テイト予想の確認です。ラマヌジャンの保型形式は、(%o37)というq級数で表される保型形式です。 (%i36) load("qsexpand.sse2f")$ (%i37) ram:q*product((1-q^n)^24,n,1,inf); $$ \tag{%o37} q\,\prod_…

-数学- 佐藤テイト予想(テイラーの定理)の計算による確認(その2)

キティーが一杯 佐藤テイト予想はもともと、\( \frac{\left| \mathrm{\%Nsolve}\left(E , p\right)-p \right| }{2\,\sqrt{p}}=\cos \vartheta_{p} \)を満たす\(\vartheta_{p} \)の分布という形で述べられています。 しかし、テイラー教授の解説では、\( \fra…

-数学- 佐藤テイト予想(テイラーの定理)の計算による確認(その1)

デザート 最近の幾つかの記事で、総積を高速に計算したり、楕円曲線の法pでの解を高速に求めるプログラムを紹介し、それを使って谷山志村対応を具体例で確認してきました。このような計算ができるようになると、やってみたいのが、佐藤テイト予想のグラフ作…

-数学- 楕円曲線を様々な法pで還元する際の注意点

東池袋 Adomani 楕円曲線にはワイエルシュトラスの標準形( \( y^2=x^3+a\,x+b \) )という分かりやすい形があるにもかかわらずしばしば(%o1)のような形で書かれます。また標数2や3の有限体を係数とする場合にはワイエルシュトラス標準形は使えない、という記…

-数学- 楕円曲線の法pでの解の個数をより高速に求める

東池袋 Adomani 谷山志村対応をいくつかの楕円曲線で確認しました。その際に与えられた楕円曲線の法pでの解の個数を総当たりで求めていました。これを1000倍くらい高速化してみましょう。 (%i1) Nsolve(elc,p):=block([c:0,evelc], for x:0 while x

-数学- アイヒラーによる谷山・志村対応の例

近所の林 もう一つ、谷山・志村対応の例を計算してみましょう。まず楕円曲線のmod pでの解の個数を数える関数を定義します。 (%i5) Nsolve(elc,p):=block([c:0,evelc], for x:0 while x

-数学- 数学ガール・フェルマーの最終定理10.6 谷山志村の定理

梨の花 結城浩さんの著書「数学ガール フェルマーの最終定理」では第10章で、ワイルズによる証明の流れが、ミルカさんによって語られます。もちろんそこで大事なのが、谷山志村予想です。ミルカさんは具体例として、 $$ q\,\prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-q^…

-数学- q級数を高速に展開するプログラム

桜の花びら 色々と恥ずかしいコードなのですが、とりあえずここに公開してみます。このコードは全て著者が書いたものです。ライセンスはとりあえずGNU GPL v2としました。商用で使いたいからBSDライセンスを希望する、などの方はご相談ください(いないと思…

-数学- q級数の計算をもっと高速化

お花見 q級数の展開計算をしたい、と思ったのです。以前に書いた記事 ではMaximaのプログラムで書いてみたわけですが、1000次まで正確に計算するのに8分もかかるという遅さでした。これでは色々と試すには遅すぎですよね。 そこで今回全部Lisp言語で書き直し…

-数学- 「7は合同数」をMaximaで確認してみよう

にほんブログ村 tsujimotterさんの以下の記事に触発されてこの記事を書きました。いつも興味深い記事を投稿されているtsujimotterさんには改めて多謝です。 すべての辺の長さが有理数であるような直角三角形の面積になる数、それが合同数です。どんな自然数…

-数学- 虚2次無理数をモジュラー変換で基本領域に移す

キティちゃんのチョコレート。 にほんブログ村 2次無理数αを根として持つ整数係数既約2次多項式方程式の判別式 D(α)(以下、略して2次無理数の判別式と呼びます)が保型性を持つ、というお話を紹介し、その証明をしてみました。 保型性といえば基本領域で…

-数学- 2次無理数の判別式の保型性の証明

ご機嫌です。 ある2次無理数 \( x \) に対して元の2次式の判別式の値を\( D\left(x\right) \)とします。今回は実数\( a,b,c,d \)が\( a\,d - b\,c=1 \)を満たすとき、 $$D\left(x\right)=D\left(\frac{b+a\,x}{c\,x+d}\right)$$ が成り立つことを示します。 …

-数学- 2次無理数の判別式の保型性

犬鍋 お久しぶりでございます。 あまりに久しぶりの記事です。数学も久しぶりで、リハビリを兼ねてこちらの本を読んでいます。 数論入門 (現代数学への入門) 作者: 山本芳彦 出版社/メーカー: 岩波書店 発売日: 2003/11/11 メディア: 単行本 購入: 1人 クリ…

-数学- NHK 数学ミステリー白熱教室「ラングランズ・プログラムへの招待」

NHKのEテレで 数学ミステリー白熱教室「ラングランズ・プログラムへの招待」 という番組が放送されるそうです。 4回シリーズで第1回は2015年11月13日の午後11時から。つまり今夜ですよ。皆さん、必ずご覧ください。 ラングランズ・プログラムといえば、フ…

-数学- ディリクレ級数の計算 係数が約数のa乗和とb乗和の積の場合

お昼寝 引き続き、黒川教授のこちらの本からです。 ラマヌジャンζの衝撃 (双書―大数学者の数学) 作者: 黒川信重 出版社/メーカー: 現代数学社 発売日: 2015/08 メディア: 単行本 この商品を含むブログを見る 整数nの約数のa乗和と同じnの約数のb乗和をかけた…

-数学- ディリクレ級数の計算 係数が約数のk乗和の場合

にほんブログ村 黒川教授がこの8月に出版された本: ラマヌジャンζの衝撃 (双書―大数学者の数学) 作者: 黒川信重 出版社/メーカー: 現代数学社 発売日: 2015/08 メディア: 単行本 この商品を含むブログを見る から、 \(\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\sigma_{…

-数学, Maxima入門- 数論的関数のディリクレ級数、texput関数の使い方

ディスクキャッチ! にほんブログ村 ラマヌジャンζの衝撃 (双書―大数学者の数学) 作者: 黒川信重 出版社/メーカー: 現代数学社 発売日: 2015/08 メディア: 単行本 この商品を含むブログを見る 黒川教授の上記の本を読んでいて、以下の式が出てきました。 $$ …

-数学- ラマヌジャン ζの衝撃 (ゼータの衝撃)

にほんブログ村 【楽天ブックスならいつでも送料無料】ラマヌジャンζの衝撃 [ 黒川信重 ] この本、購入しました。以前こちらの記事 -数学- アイゼンシュタイン級数関連の記事の参考文献 - Maxima で綴る数学の旅で雑誌「現代数学」に黒川教授がゼータ関数に…

-数学- ゼータ関数の非自明零点と行列の固有値(その4)今回使ったMaximaのパッケージについて

波飛沫に霞む にほんブログ村 <a href="http://maxima.hatenablog.jp/entry/2015/08/16/012243" data-mce-href="http://maxima.hatenablog.jp/entry/2015/08/16/012243">-数学- ゼータ関数の非自明零点と行列の固有値(その1)エルミート行列の固有値を求める - Maxima で綴る数学の旅</a>および(その2)ではグラフ描画のためのdrawパッケージ以外にもdistrib, descriptive, lapackというパッケージ…

- ゼータ関数の非自明零点と行列の固有値(その3)物語

お友達 にほんブログ村 エルミートランダム行列の固有値の間隔分布とゼータ関数の非自明零点の間隔分布、あまりに出自の異なる2つの概念が、グラフに書くと完全に一致している、、、。ということはちょうどゼータの非自明零点を固有値とするエルミート行列…

-数学- ゼータ関数の非自明零点と行列の固有値(その2)ゼータの非自明零点の間隔分布を求める

ボール取ってきました にほんブログ村 前の記事ではランダムエルミート行列の固有値を求め、その間隔分布をグラフにプロットし、理論分布との一致を確認したのでした。 <a href="http://maxima.hatenablog.jp/entry/2015/08/16/012243" data-mce-href="http://maxima.hatenablog.jp/entry/2015/08/16/012243">-数学- ゼータ関数の非自明零点と行列の固有値(その1)エルミート行列の固有値を求め</a>…

-数学- ゼータ関数の非自明零点と行列の固有値(その1)エルミート行列の固有値を求める

にほんブログ村 量子力学で登場する波動関数の記述に現れる演算子はエルミート行列なのですが、この挙動を調べるためにランダムエルミート行列というものが物理の方では研究されています。行列の性質を知るためには特性方程式やその根である固有値が重要にな…

-数学- n番目の素数を求める公式

プールで泳ぐパピヨン にほんブログ村 ご無沙汰しておりました。 常日頃フォローしているブログに以下のようなツィートが紹介されていました。 「素数をnで表す式は発見されてない」みたいなの見る度に別にイライラはしないがnで表す式はいくらでも見つかっ…

-数学- 不思議な対称性「2つの曲線は等しい」

にほんブログ村 $$ f\left(t\right):=\exp \left(i\,t\right)-\frac{\exp \left(6\,i\,t\right)}{2}+\frac{i\,\exp \left(\left(-14\right)\,i\,t\right)}{3} $$ この指数関数の3つの項からなる関数は複素平面上で閉曲線を描きます。一方、コメントに書かれ…

-数学- 「不思議な対称性」へのコメントについて

にほんブログ村 記事 <a href="http://maxima.hatenablog.jp/entry/2015/06/21/223648" data-mce-href="http://maxima.hatenablog.jp/entry/2015/06/21/223648">-数学- 不思議な対称性 - Maxima で綴る数学の旅</a>に膨大なサイズの式によるコメントをいただきました。コメントの式と記事で紹介した複素関数の式が同じ曲線を表していることを証明せよ、というコメントでした。 最初は失礼ながらスパム…

-数学- 不思議な対称性

にほんブログ村 Creating Symmetry: The Artful Mathematics of Wallpaper Patterns 作者: Frank A. Farris 出版社/メーカー: Princeton University Press 発売日: 2015/06/02 メディア: Kindle版 この商品を含むブログを見る とあるブログで上記の本の紹介…

-数学- 手触り感のある数学、さわれるゼータ関数

にほんブログ村 数学って抽象度が高くなると何をやっているのか分からなくなることがよくあります。そんな時は具体例を計算したり、図やグラフを書いたり、、、。そんな手触り感のある数学は楽しいですね。 このオブジェは手触り感のある数学の愛好家(専門…

-Maxima入門/数学- グラフ理論パッケージの応用 スペクトルグラフ理論

にほんブログ村 グラフ理論パッケージと行列関連の機能を使うと、色々とグラフの性質を計算できるそうです。特に行列の固有値から色々な性質がわかる理論があり、「スペクトルグラフ理論」と呼ばれているようです。 なんだか響きもカッコイイですよね。「ス…

-数学- q級数の計算の高速化

// にほんブログ村 詳しい(そして実に面白いのですが)ことは、tsujimotterさんのブログ記事: &lt;a href="http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/6xx-xy-yy" data-mce-href="http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/6xx-xy-yy"&gt;6xx + xy + yy の…

-数学- アイゼンシュタイン級数関連の記事の参考文献

// にほんブログ村 アイゼンシュタイン級数関連の記事を書いてきました。 もともとの動機は「現代数学」、 現代数学 2014年 10月号 [雑誌] 出版社/メーカー: 現代数学社 発売日: 2014/09/12 メディア: 雑誌 この商品を含むブログを見る という雑誌に東工大の…

-数学- モジュラー形式とラマヌジャンの不思議な等式

// メディテレーニアンハーバー にほんブログ村 アイゼンシュタイン級数の保型性を使うと、ラマヌジャンの不思議な等式(%o1)を示すことができます。 (%i1) sum(n^5/(exp(2*%pi*n)-1),n,1,inf)=1/504; $$ \tag{%o1} \sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n^5}{e^{2\,\p…

-数学- リプシッツ公式を導く

// にほんブログ村 リプシッツ公式(%o1)はオイラーのコタンジェント公式から導くことができます。 (%i1) lip:sum((z-n)^(-k),n,-inf,inf)=(-2*%pi*%i)^k/(k-1)!*sum(n^(k-1)*q^n,n,1,inf); $$ \tag{%o1} \sum_{n=-\infty }^{\infty }{\frac{1}{\left(z-n\rig…

-数学- 約数のk乗和の母関数

// ラウンジ にほんブログ村 ランベルト級数の式変形と関係して約数のk乗和の母関数が登場しました。その辺の計算をしてみます。 ではまずMaximaでの表示をきれいにするための準備です。powerdispl:trueとすると級数を次数の昇冪順に表示します。またtexput(…

-数学- アイゼンシュタイン級数のフーリエ展開をリプシッツ公式から導く

// 疾走 にほんブログ村 重さkのアイゼンシュタイン級数のフーリエ展開の係数は約数のk乗の和が登場するのがとても面白いです。どうしてそんなことが起こるのでしょうか。 まず、約数のk乗和関数をimaximaやMaxima on Androidでカッコよく表示するためのおま…

-数学- アイゼンシュタイン級数のフーリエ展開

// 東京駅ライトアップ にほんブログ村 アイゼンシュタイン級数はいろいろな形で数論と結びついています。すでに見たように、m,nが(0,0)を除くすべての整数を走る、代わりにm,nが互いに素なすべての整数を走るように変形することができ、その時にはゼータ関…

-数学- アイゼンシュタイン級数がモジュラー形式であること

// 模擬レース にほんブログ村 いつものようにアイゼンシュタイン級数を(%i1)で定義します。 (%i1) Ez1:Ez[k](z)=lsum(1/(m*z+n)^k, mn,Z^2);$$ \tag{%o1} \mathrm{Ez}_{k}(z)=\sum_{\mathrm{mn}\in{Z^2}}{\frac{1}{\left(m\,z+n\right)^{k}}} $$(%i2) modu:…

-数学- アイゼンシュタイン級数 (その3)

// ウォームアップ にほんブログ村 アイゼンシュタイン級数にはz->z+1やz->-1/zなどの変数変換をしてもあまり変化しません。(これらの変換である種の対称性があります)。 アイゼンシュタイン級数の定義は以下の通りでした。ただし\( \left(m, \,n\right)=\…

-数学- アイゼンシュタイン級数 (その3)

CH-47J チヌーク // にほんブログ村 (その2)の記事の最後の展開を見るとわかることは、 $$\begin{align*} \frac{1}{\left(m\,z+n\right)^{k}}=\frac{1}{d^{k}\,\left(m_{d}\,z+n_{d}\right)^{k}} \end{align*} $$ という因数分解が全ての項について行われて…

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