Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

-数学- 可解な方程式を冪根で解く -まとめとリリース-

多項式のガロア群を、多項式を解くことなく求めたい、ということに端を発して、最終的には、次数には関係なく可解な多項式を解くプログラムを完成するところまで、辿り着くことができました(実際には5次方程式までしか解けていませんが)。 このプログラムも…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く -可解な5次多項式の根も冪根で計算出来た-

元々は前回の記事: の続きを書くつもりだったのですが、少しだけ予定を変更して、SolveSolvable()関数での5次多項式のサポート状況を書きます。例題としては\(x^5-5\,x+12\)を使います。 前回の記事を書いてから、作ったプログラムに色々と不備(後述)が見つ…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く-5次方程式に向けて-

5次方程式をこのアルゴリズムで解く試みを始めています。例題としては \(x^5-5\,x+12\) を取り上げます。この方程式は文献4: 文献 4 大迎「可解な5次方程式について」学位論文、兵庫教育大学大学院 のp74, 4.3 可解な5次方程式の解法例1の例2として取り…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く -4次以下の多項式の根を求める汎用プログラムのリリース-

2次以上4次以下の1変数多項式の根を求める汎用プログラムをリリースします。このプログラムは4つのファイルから構成されています。 SolveSolvable2.macこのファイルを読み込むと、他の3つのファイルも読み込みます。そしてプログラムのエントリーポイントと…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く -4次までの多項式用の汎用プログラムの実行例-

ようやく、かなりマシなバージョンを作ることができたので、一度リリースすることにしました。今回はどんな感じで実行できるのか、お見せします。なお、今回リリースするプログラムは4次までの多項式の根を方程式のガロア理論に従って計算します。 ファイル…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く-リファクタリング-

今までお見せして来た計算は実は色々と\(x^4+2\,x^3+3\,x^2+4\,x+5\)という例題に特化した計算になっています。 ガロア群を求め、正規部分群と組成列を求めるところや、拡大体の計算ルーチンはそれなりに汎用です。しかしその後の、群を縮小しながら体を拡大…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く(8) 解を求める

不思議なノート2 これまでの計算で4次多項式\( x^4+2\,x^3+3\,x^2+4\,x+5 \)の根を求めるための全ての準備が終わりました。4つの解はVの多項式solV[1](V)〜solV[4](V)としては求まっていました。そして前回の記事で\(V\)を冪根と1の冪乗根による値を得たの…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く(7) 群の縮小と体の拡大 第3、4ステップ〜そして最小分解体

不思議なノート 今回、第3ステップと第4ステップを実行し、Vの最小多項式の最小分解体まで拡大します。体の拡大とはリストCに冪根(と1の冪根)を付け加えることでした。この結果、Vの最小多項式を1次式に分解することができるのに必要な冪根が全て計算…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く(6) 群の縮小と体の拡大 第2ステップ

例題の多項式\( x^4+2\,x^3+3\,x^2+4\,x+5 \)の組成列は、 \(NSGS=\left[ Group\left \{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 \right \} , Group\left \{1 , 4 , 5 , 8 , 9 , 12 …

-数学- 可解な方程式を冪根で解く(5) 群の縮小、体の拡大、拡大体での原始元の最小多項式

スターバックス 文献3の12「体の拡大とg(x)の次数低減」まで来ました。ここで、群の縮小、体の拡大、拡大体の原始元の最小多項式を求めることは、計算上は何を意味するのでしょうか。 正規部分群\(G_{k}\)にガロア対応する体を\(F_{k}\)、 \(F_{k}\)係数のV…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く(4) 有限拡大と多項式の次数低減

かき揚げ 文献3の"11. f(x)の分解体に属する元の表記と積・商の計算"の記載の意味を考えてみました。 ちょっとだけ、既約多項式による剰余環と拡大体の同型について復習しましょう。 改訂新版 ガロア理論 作者: 関口次郎 出版社/メーカー: 丸善出版 発売日: 2…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く(3) 正規部分群の計算、組成列の計算、可解性判定

チョコレート いよいよガロア群に対して、正規部分群を計算し、それを繰り返して組成列を計算します。 その準備として有限群をデータ構造(defstruct)として定義します。 defstruct(FiniteGroup(permutation_rep=false, degree=0, index_element_set=false, m…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く(2) ガロア群の計算

British Airways lounge at BRU まずはガロア群の計算です。 ここからGG6.macをダウンロードすることが出来ます。 GG6.mac - Google ドライブ (%i1) load("GG6.mac");$$ \tag{%o0} \verb|GG6.mac| $$ 例題の多項式を変数p1に代入します。(%i1) p1:x^4+2*x^3+…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く(1) 方程式を解く計算の流れ

レストランのバックヤード これから数回にわたり、概ね、 文献3 「退職後は素人数学者」可解な代数方程式のガロア理論に基づいた解法 の流れに従い、方程式を冪根で解く計算をMaximaで示していきます。例題として4次多項式\( x^4+2\,x^3+3\,x^2+4\,x+5 \)を…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く(Solve any solvable polynomials with radicals)

のどかなレストラン これから数回にわたり、可解な多項式を冪根で解くアルゴリズムのMaximaでの実装について紹介します。 「ガロアの時代 ガロアの数学〈第2部〉数学篇 (シュプリンガー数学クラブ)」に掲載されているガロアの第一論文(例の決闘前夜まで修正…

-Android- Maxima on Android 3.2.1 リリース

生ハムとポテトチップス Maxima on Android 3.2.1をリリースしました。この最新版ではAndroid Pieをサポートし、Maxima 5.41.0を搭載しています。ただしAndroid 4.4 Kitkat以上のOSが必要です。 試してみたい方は、こちからダウンロード&インストールできま…

-Android- Maxima on Android 3.2 ベータテストを開始しました。

Jos Theys Boerderij Maxima on Android 3.2のオープンベータテストを開始しました。 ベータテストへの参加は簡単です。 AndroidスマホのGoogle PlayアプリからMaxima on Androidを検索してください。このアプリのページの下の方にベータテスターへの登録の…

-Android- Maxima on Android 3.2 リリース計画Android

ヘルシンキ空港 これから秋のどこかの時点でMoA 3.2をリリースするべく、以下がその計画の内容です。今回は出来るだけソースコードをシンプルにして、今後の手間がかからないようにすることが目標です。そのために、古いバージョンのAndroid OSへのサポート…

-Android- Maxima on Android 3.1はAndroid Pieでは動きません!

九十九里浜から犬吠埼まで 今月、時間が出来たのでMaxima on Andrdoi を更新する作業を行ってきました。その作業(主に古いAndroidのサポートを止めたことによるコードの整理です)が一段落したので、テストを開始しました。 「あ、そういえばAndroid OS自体…

-その他- iMacのHDDが壊れた。pmsetによる電源管理で熱対策。

普段使いのPCはiMac (Late 2013)です。内臓HDDと外付けSSDでフュージョンドライブ(Fusion Drive)を構成しています。この構成を作った時のことはこの記事に書きました。 その際にもバックアップの重要性を書き、上記外付けSSDとは別に外付けHDDをTime Machine…

-数学- 指標の計算

この記事では有限体\(F_p\)の乗法群\(F_p^{\times}\) の指標\(\chi : F_p^{\times}\to C^{\times}\)を定義しました。 一般的には有限群の上で指標を定義できます。有限群\(G\)上の指標とは、準同型\(\chi:G\to C^{\times}\)、\(C^{\times}\)は0と異なる複素…

-数学- 4で割ると1余る素数を2つの平方数の和に分解する方法 -ガウス整数の互除法-

橋本先生の本: 探検! 数の密林・数論の迷宮 作者: 橋本喜一朗 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2017/09/27 メディア: 単行本 この商品を含むブログを見る には明示的には載っていないのですが、math.stackexchange.comの関連質問記事: やそのほかの記…

-数学- 4で割ると1余る素数を2つの平方数の和に分解する方法 -指標とヤコビ和-

群論では、抽象的な群の要素を群の演算を保つように数字(複素数)に写像することがあり、この写像を指標と呼びます。指標の値は数字なので、解析的な道具(四則演算、微積、ゼータ関数の係数など)と組み合わせることで、群の性質を式に取り入れて計算した…

-数学- 4で割ると1余る素数を2つの平方数の和に分解する方法 - 互除法-

探検! 数の密林・数論の迷宮 作者: 橋本喜一朗 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2017/09/27 メディア: 単行本 この商品を含むブログを見る 今度は、4n+1型素数を二つの平方数の和に分割するのに、互除法を使ってみます。この方法は「数論の迷宮」p283を…

-数学- 4で割ると1余る素数を2つの平方数の和に分解する方法 -二項係数-

探検! 数の密林・数論の迷宮 作者: 橋本喜一朗 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2017/09/27 メディア: 単行本 この商品を含むブログを見る をお持ちの方はp281に記載されている定理13.10をご覧になってください。 定理13.10 \(p \equiv 1 \left(mod \,4…

-数学- 4で割ると1余る素数を2つの平方数の和に分解する方法 - 概説

最近この本を買って読んでいました。 探検! 数の密林・数論の迷宮 作者: 橋本喜一朗 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2017/09/27 メディア: 単行本 この商品を含むブログを見る p進数、ガロア群、連分数、楕円曲線などの進んだ数学について、教科書には…

-数学- ガロアの逆問題

ガロア理論の周辺の問題として、「ガロアの逆問題」と呼ばれる問題があります。与えられた有限群をガロア群としてもつ多項式をあれば求めよ、というような問題です。もう少しきちんと書くと以下のようになります。 ガロアの逆問題 有限群\(G\)が与えられた時…

-数学- 「ガロア群計算の体論的な意味」への補足

雪のヘルシンキ空港 F(V)が因数分解できる場合にはV(元の方程式の根の一次結合)の根の置換で得られるV1, V2, V3,,,の全てがVの最小多項式の解になるわけではありません。 Vの最小多項式の根となるV', V''...V'''について、それらを得るための根の置換が Q …

-Android- 丸善にて「スマホで数学!」

先日紹介した「Maxima on Android解説本」 いつでも・どこでも・スマホで数学! Maxima on Android活用マニュアル 作者: 梅野善雄 出版社/メーカー: 森北出版 発売日: 2017/12/19 メディア: 単行本 この商品を含むブログ (1件) を見る の続報です。 先日、機…

-Android- いつでも・どこでも・スマホで数学!

なんと!!Maxima on Androidを題材にした本が出版されました! いつでも・どこでも・スマホで数学! Maxima on Android活用マニュアル 作者: 梅野善雄 出版社/メーカー: 森北出版 発売日: 2017/12/19 メディア: 単行本 この商品を含むブログを見る 一関高専…

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