Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

-数学- p進数入門 非アルキメデス的絶対値

p進数の絶対値や距離が「非アルキメデス的」とよく言われます。これって何のことなのでしょうか。 非アルキメデス的絶対値の定義や性質は、 p進ゼータ関数 久保田-レオポルドから岩澤理論へ (シリーズ「ゼータの現在」) 作者:青木 美穂 出版社/メーカー: 日…

-数学- p進数入門 積公式

0でない任意の整数(実際には有理数でも成り立つ)xについて、xの絶対値とxの全てのp進絶対値(pはすべての素数にわたる)を掛け合わすと1になる、という美しい式が成り立ちます。 $$ \left| x\right| \,\prod_{p}\left| x \right|_{p}=1$$ この式の左辺を特定…

-数学- p進数入門 p進距離と級数の収束の続き

あけましておめでとうございます。本年もよろしくお願いいたします。 前回の記事で、等比級数の無限和の公式が、比が素数の場合にもp進距離に基づく収束で成り立つことが数値計算で実感できました。では証明はどのようにすれば良いのでしょうか。 証明したい…

-数学- p進数入門 p進距離と級数の収束

絶対値が定義できると、差の絶対値として距離を定義できます。その事情はp進の世界でも同じです。2つの有理数の差がpでよく割り切れれば、つまり差のp進絶対値が小さければ、この2つの数を「近い」とみなします。 (%i1) texput(nounify(padic_norm), lambda…

-数学- p進数入門 有理数のp進絶対値の定義と計算, padicsパッケージ

p進数、p進附値、p進絶対値、p進L関数、、、など数論の世界には実数とは違ったp進の世界があり、その数の理論を使って数学の様々な定理が証明されている、と書物には書いてあります。 そうは言っても、Maximaにはp進数を扱えるようなパッケージはないし、普…

-Android- Maxima Keyboard 数式入力用の仮想キーボード

Maxima on Android (更新をさぼっており、すみません)用に仮想キーボードを作ってみました。こちらがQWERTY配列。 こちらが記号配列。 QWERTY配列にカッコ、カンマ、下線を入れたことでintegrate(f(x),x)程度ならばこの配列で打つことができます。 一方、…

-その他- ローマンシェードカーテンのパディナ ストッパー交換再び

かなり昔のことのように感じますが、 日付を見れば前回の交換は3年半前のこととわかります。 最近、再び動作が不安定になってきました。具体的には、途中で止めることができない、一番上まで引き上げても止めるにはコツが必要、、、これは困ったことです。 …

-セキュリティ- CISSP (4) 受験用日本語の資料

今回がCISSPに関するシリーズの最終回です。日本語のリソースをまとめておきます。 書籍 新版 CISSP CBK 公式ガイド 出版社/メーカー: NTT出版 発売日: 2018/09/20 メディア: Kindle版 この商品を含むブログを見る 公式サイト japan.isc2.org IPAのNIST S…

-セキュリティ- CISSP (3)勉強中に迷った事、分からなかった事、理解の仕方

私が自分で迷ったこと、調べたことで、特に印象に残っている事柄を備忘録として書いておきます。理論としてどう理解すれば良いか、もありますが、試験対策としてどう理解しておけば良いか、という視点でも書いています(間違っている点がありましたら、ご指摘…

-セキュリティ- CISSP(2)勉強のための本、ビデオ、問題集、サイト、資料

私は日本語で開催される有料セミナーを受講しませんでした。この記事は、同様にいわゆる独学で受験する人の参考になればと考えています。有料セミナーでは日本語のしっかりした資料が配られるとのことですので、勉強の仕方もかなり変わってくると思います。 …

-セキュリティ- CISSP(1)セキュリティの資格CISSPの認定試験に合格しました!

ここしばらく数学の記事はお休みして、いくつかセキュリティ関連の記事を書いていました。実は仕事がセキュリティに関係しており、その都合でCISSP(Certified Information Systems Security Professional) という国際的な情報セキュリティの資格取得をするこ…

-セキュリティ- セキュリティの形式的証明の実世界での応用(3)

Formally verified software in the real worldCommunications of the ACM, Volume 61, Issue 10, pp. 68-77, October, 2018 前回はセキュリティの形式的な証明を可能にするソフトウェアのフレームワークとしてSEL4マイクロカーネルとCAmkESという部品ソフト…

-セキュリティ- セキュリティの形式的証明の実世界での応用(2)

Formally verified software in the real worldCommunications of the ACM, Volume 61, Issue 10, pp. 68-77, October, 2018 の論文紹介の続きです。今回は形式的証明を可能にするソフトウェアのフレームワークを紹介します。次回ではこのフレームワークを利…

-セキュリティ-:セキュリティの形式的証明の実世界での応用(1)

ある種のセキュリティの勉強を継続しているのですが、論文を調べているとこの辺の研究を実世界で活用しよう、という実証研究も見つかります。今回はこちらの論文: Formally verified software in the real worldCommunications of the ACM, Volume 61, Issu…

-セキュリティ- Bell-La PadulaアクセスコントロールモデルとMulticsオペレーティングシステム

セキュリティとコンピュータと数学の歴史の話です。 ある種のセキュリティの勉強をしているとアクセスコントロールのポリシーの話が出てきます。中でもBell LaPadulaモデルというモデルが秘匿性のモデルとして登場します。 Bell-LaPadulaモデルでは情報の機…

-数学- sin(n*%pi/11)^2を解に持つ5次方程式を解く

Saito munetakaさんから頂いたコメントの中である5次方程式を解いてみてほしいとのご依頼がありました。早速やってみたところサクッと解けたので記事してみます。ただし、ここで求めた解が\( \left(\sin{\frac{n\,\pi}{11}}\right)^{2} \)に一致することを…

-数学- GaloisGroupSolverをGithubに公開しました

3連休の間に1日かけてGithubにレポジトリを作り、関連するファイルをアップロードして公開しました。まず、パッケージのダウンロード方法ですが、ここからダウンロードできます。 ちなみにパッケージの名前としてSolveSolvableで行こうかと思ったのですが、…

-数学- ガロア群を使って多項式の根を求める際の注意事項

ガロア群を使って多項式の根を求める計算をまとめると、与えられた多項式のガロア群が可解群の場合、ガロア群の縮小に対応して係数体を冪根拡大させることが出来ます。その際にVの最小多項式を拡大体で因数分解することできます。単位群まで縮小させた場合、…

-数学- 5次方程式を高速に解く。6次方程式も解けた!

2引数のfactor()関数を使って各解を原子元Vで表す計算を行うgal_sol_V4()を組み込んだパッケージを作成しました。こちらからダウンロードできます。 このパッケージを読み込んで、5次方程式を解くと、6.38秒で 解くことができました。 ちなみに、冪根では…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く -解ける5次多項式の根も高速に求められる!!-

可解な多項式の根を求めるプログラムを提示してきましたが、このプログラムでの5次方程式の解の計算の計算時間的なボトルネックは、原子元Vで多項式の根を表す部分にありました。 ガロアが考えた方法をほぼそのまま実装した場合、5次方程式の場合で、数時間…

-その他- Mac OS X10.14.2適用後、iMac、bootせず、、、

色々とだましだまししながら使ってきたiMac late 2013 (古い!) ですが、12/21に危機的状況に陥りました。 数ヶ月前、Mac OS X 10.14 (Mojave)にアップグレードした時に、内蔵HDDと外付けSSDによるFusion DriveがHFS+からAPFSに変換されてしまいました。その…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く -まとめとリリース-

多項式のガロア群を、多項式を解くことなく求めたい、ということに端を発して、最終的には、次数には関係なく可解な多項式を解くプログラムを完成するところまで、辿り着くことができました(実際には5次方程式までしか解けていませんが)。 このプログラムも…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く -可解な5次多項式の根も冪根で計算出来た-

元々は前回の記事: の続きを書くつもりだったのですが、少しだけ予定を変更して、SolveSolvable()関数での5次多項式のサポート状況を書きます。例題としては\(x^5-5\,x+12\)を使います。 前回の記事を書いてから、作ったプログラムに色々と不備(後述)が見つ…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く-5次方程式に向けて-

5次方程式をこのアルゴリズムで解く試みを始めています。例題としては \(x^5-5\,x+12\) を取り上げます。この方程式は文献4: 文献 4 大迎「可解な5次方程式について」学位論文、兵庫教育大学大学院 のp74, 4.3 可解な5次方程式の解法例1の例2として取り…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く -4次以下の多項式の根を求める汎用プログラムのリリース-

2次以上4次以下の1変数多項式の根を求める汎用プログラムをリリースします。このプログラムは4つのファイルから構成されています。 SolveSolvable2.macこのファイルを読み込むと、他の3つのファイルも読み込みます。そしてプログラムのエントリーポイントと…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く -4次までの多項式用の汎用プログラムの実行例-

ようやく、かなりマシなバージョンを作ることができたので、一度リリースすることにしました。今回はどんな感じで実行できるのか、お見せします。なお、今回リリースするプログラムは4次までの多項式の根を方程式のガロア理論に従って計算します。 ファイル…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く-リファクタリング-

今までお見せして来た計算は実は色々と\(x^4+2\,x^3+3\,x^2+4\,x+5\)という例題に特化した計算になっています。 ガロア群を求め、正規部分群と組成列を求めるところや、拡大体の計算ルーチンはそれなりに汎用です。しかしその後の、群を縮小しながら体を拡大…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く(8) 解を求める

不思議なノート2 これまでの計算で4次多項式\( x^4+2\,x^3+3\,x^2+4\,x+5 \)の根を求めるための全ての準備が終わりました。4つの解はVの多項式solV[1](V)〜solV[4](V)としては求まっていました。そして前回の記事で\(V\)を冪根と1の冪乗根による値を得たの…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く(7) 群の縮小と体の拡大 第3、4ステップ〜そして最小分解体

不思議なノート 今回、第3ステップと第4ステップを実行し、Vの最小多項式の最小分解体まで拡大します。体の拡大とはリストCに冪根(と1の冪根)を付け加えることでした。この結果、Vの最小多項式を1次式に分解することができるのに必要な冪根が全て計算…

-数学- 可解な方程式を冪根で解く(6) 群の縮小と体の拡大 第2ステップ

例題の多項式\( x^4+2\,x^3+3\,x^2+4\,x+5 \)の組成列は、 \(NSGS=\left[ Group\left \{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 \right \} , Group\left \{1 , 4 , 5 , 8 , 9 , 12 …

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