楕円関数シリーズの際にも紹介した下記の本、楽しいです。この本にはデデキントのイータ関数の保型性が、重さ２のアイゼンシュタイン級数（の類似）と関係していることが書いてあります。
アイゼンシュタイン級数は重さ4以上でしか定義されませんが、重さ２の場合、類似物を定義することができます。それが(%o2)です。
(%i1) E2(z):=1-24*sum(n*q^n/(1-q^n),n,1,inf),q^n=exp(2*%i*%pi*n*z)$
(%i2) E[2](z)=E2(z);
$$ \tag{%o2} E_{2}(z)=1-24\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n\,e^{2\,i\,\pi\,n\,z}}{1-e^{2\,i\,\pi\,n\,z}}} $$
重さ４以上のアイゼンシュタイン級数はその重さのモジュラー形式になりますが、類似物の方は、モジュラー形式と類似の関数等式が成立します。それが(%o3)です。右辺の最後の項が余分ですが、重さ２では必要です。
(%i3) E[2](-1/z)=z^2*E[2](z)+6*z/(%pi*%i);
$$ \tag{%o3} E_{2}(-\frac{1}{z})=z^2\,E_{2}(z)-\frac{6\,i\,z}{\pi} $$
この関係式を使うとデデキントのイータ関数の保型性（の一部）を示すことができます。具体的には、ちょっと下の方ですが(%o8)がそれです。ただその前に定義(%o2)を使って(%o3)を少し変形しておきます。
(%i4) %,E[2](z):=E2(z);
$$ \tag{%o4} 1-24\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n\,e^ {- \frac{2\,i\,\pi\,n}{z} }}{1-e^ {- \frac{2\,i\,\pi\,n}{z} }}}=z^2\,\left(1-24\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n\,e^{2\,i\,\pi\,n\,z}}{1-e^{2\,i\,\pi\,n\,z}}}\right)-\frac{6\,i\,z}{\pi} $$
(%i5) ratsimp(%);
$$ \tag{%o5} 1-24\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n}{e^{\frac{2\,i\,\pi\,n}{z}}-1}}=\frac{24\,\pi\,z^2\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n\,e^{2\,i\,\pi\,n\,z}}{e^{2\,i\,\pi\,n\,z}-1}}+\pi\,z^2-6\,i\,z}{\pi} $$
(%i6) distrib(%);
$$ \tag{%o6} 1-24\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n}{e^{\frac{2\,i\,\pi\,n}{z}}-1}}=24\,z^2\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n\,e^{2\,i\,\pi\,n\,z}}{e^{2\,i\,\pi\,n\,z}-1}}+z^2-\frac{6\,i\,z}{\pi} $$
上記の(%o6)が重要です。覚えておいてください。
デデキントのイータ関数、数論ではよく見かける関数です。特に谷山志村対応で登場する保型形式の例はこのイータ関数の適当な積となっているものが多く使われます。
(%i7) ETA:eta(z)=exp(2*%i*%pi*z/24)*product(1-exp(2*%pi*%i*z*n),n,1,inf);
$$ \tag{%o7} \eta\left(z\right)=e^{\frac{i\,\pi\,z}{12}}\,\prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-e^{2\,i\,\pi\,n\,z}\right)} $$
例えば
の例は\(\eta\left(4\,z\right)^2\,\eta\left(8\,z\right)^2\)とかけますね。
今回証明したいのは(%o8)となります。
(%i8) eta(-1/z)=sqrt(-%i*z)*eta(z);
$$ \tag{%o8} \eta\left(-\frac{1}{z}\right)=\sqrt{-i\,z}\,\eta\left(z\right) $$
この式の両辺を対数微分してみます。まずは左辺から行きます。
(%i9) ETA,z:-1/z;
$$ \tag{%o9} \eta\left(-\frac{1}{z}\right)=e^ {- \frac{i\,\pi}{12\,z} }\,\prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-e^ {- \frac{2\,i\,\pi\,n}{z} }\right)} $$
(%i10) log(%),logexpand:all;
$$ \tag{%o10} \log \eta\left(-\frac{1}{z}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }{\log \left(1-e^ {- \frac{2\,i\,\pi\,n}{z} }\right)}-\frac{i\,\pi}{12\,z} $$
(%i11) diff(%,z),ratsimp;
$$ \tag{%o11} \frac{\frac{d}{d\,z}\,\eta\left(-\frac{1}{z}\right)}{\eta\left(-\frac{1}{z}\right)}=-\frac{24\,i\,\pi\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n}{e^{\frac{2\,i\,\pi\,n}{z}}-1}}-i\,\pi}{12\,z^2} $$
(%i12) LETA:distrib(%);
$$ \tag{%o12} \frac{\frac{d}{d\,z}\,\eta\left(-\frac{1}{z}\right)}{\eta\left(-\frac{1}{z}\right)}=\frac{i\,\pi}{12\,z^2}-\frac{2\,i\,\pi\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n}{e^{\frac{2\,i\,\pi\,n}{z}}-1}}}{z^2} $$
次に(%o8)の右辺を対数微分してみます。
(%i13) ETA*sqrt(-%i*z);
$$ \tag{%o13} \sqrt{-i\,z}\,\eta\left(z\right)=\sqrt{-i\,z}\,e^{\frac{i\,\pi\,z}{12}}\,\prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-e^{2\,i\,\pi\,n\,z}\right)} $$
(%i14) log(%),logexpand:all;
$$ \tag{%o14} \log \eta\left(z\right)+\frac{\log z+\log i+\log \left(-1\right)}{2}=\sum_{n=1}^{\infty }{\log \left(1-e^{2\,i\,\pi\,n\,z}\right)}+\frac{\log z+\log i+\log \left(-1\right)}{2}+\frac{i\,\pi\,z}{12} $$
(%i15) diff(%,z),ratsimp;
$$ \tag{%o15} \frac{2\,z\,\left(\frac{d}{d\,z}\,\eta\left(z\right)\right)+\eta\left(z\right)}{2\,z\,\eta\left(z\right)}=\frac{24\,i\,\pi\,z\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n\,e^{2\,i\,\pi\,n\,z}}{e^{2\,i\,\pi\,n\,z}-1}}+i\,\pi\,z+6}{12\,z} $$
(%i16) RETA:distrib(%);
$$ \tag{%o16} \frac{\frac{d}{d\,z}\,\eta\left(z\right)}{\eta\left(z\right)}+\frac{1}{2\,z}=2\,i\,\pi\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n\,e^{2\,i\,\pi\,n\,z}}{e^{2\,i\,\pi\,n\,z}-1}}+\frac{1}{2\,z}+\frac{i\,\pi}{12} $$
(%o8)の右辺と左辺の対数微分が等しいことを示したいです。そのため等しいとおいた(%o17)を同値変形すると(%o6)になることを示します。
(%i17) rhs(LETA)=rhs(RETA);
$$ \tag{%o17} \frac{i\,\pi}{12\,z^2}-\frac{2\,i\,\pi\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n}{e^{\frac{2\,i\,\pi\,n}{z}}-1}}}{z^2}=2\,i\,\pi\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n\,e^{2\,i\,\pi\,n\,z}}{e^{2\,i\,\pi\,n\,z}-1}}+\frac{1}{2\,z}+\frac{i\,\pi}{12} $$
(%i18) %*12*z^2/(%i*%pi),ratsimp;
$$ \tag{%o18} 1-24\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n}{e^{\frac{2\,i\,\pi\,n}{z}}-1}}=\frac{24\,\pi\,z^2\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n\,e^{2\,i\,\pi\,n\,z}}{e^{2\,i\,\pi\,n\,z}-1}}+\pi\,z^2-6\,i\,z}{\pi} $$
(%i19) distrib(%);
$$ \tag{%o19} 1-24\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n}{e^{\frac{2\,i\,\pi\,n}{z}}-1}}=24\,z^2\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n\,e^{2\,i\,\pi\,n\,z}}{e^{2\,i\,\pi\,n\,z}-1}}+z^2-\frac{6\,i\,z}{\pi} $$
これで(%o8)の右辺と左辺の対数微分が等しいことがわかりました。従って右辺と左辺は関数として定数倍の違いとなります。そこで\(z=i\)の場合を考えればその定数が1となることがわかります。
